单元测试示范卷

2023全国一百所名校单元测试示范卷高三数学(七)23·G3DY

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8.已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线被直线x-2y-1=0截得的弦长为$\sqrt{15}$,求此抛物线方程.试题答案

分析 设抛物线的方程为x2=2py,与直线x-2y-1=0联立,利用弦长公式,即可求抛物线的方程.

解答 解:设直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),
设抛物线的方程为x2=2py,与直线x-2y-1=0联立,消去y得x2-px+p=0,则x1+x2=p,x1•x2=p.
|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$|x1-x2|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•$\sqrt{{p}^{2}-4p}$=$\sqrt{15}$,
化简可得p2-4p-12=0,∴p=6或-2,
∴x2=12y或x2=-4y.

点评 本题主要考查抛物线标准方程,简单几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.

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