单元测试示范卷

2023全国100所名校单元测试示范卷 数学卷五

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11.某人有一容积为V,高为a且装满了油的直三棱柱形容器,不小心将该容器掉在地上,有两处破损并发生渗漏,其位置分别在两条侧棱上且距下底面高度分别为b、c的地方,且容器盖也被摔开了(盖为上底面),为减少油的损失,此人采用破口朝上,倾斜容器的方式拿回家,估计容器内的油最理想的剩余量是多少.(容器壁的厚度忽略不计)试题答案

分析 如图所示,设直三棱柱的底面面积为S,则V=aS.当ADE平面为水平面时,容器内的油是最理想的剩余量.连接AB1,AC1.${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$aS=$\frac{1}{3}V$.设${V}_{A-DE{C}_{1}{B}_{1}}$=V1,VA-BCED=V2.可得$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{{S}_{DE{C}_{1}{B}_{1}}}{{S}_{BCED}}$=$\frac{b+c}{a-c+a-b}$,${V}_{1}+{V}_{2}=\frac{2}{3}V$,解出V1即可得出.

解答 解:如图所示,
设直三棱柱的底面面积为S,则V=aS.
当ADE平面为水平面时,容器内的油是最理想的剩余量.
连接AB1,AC1
${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$aS=$\frac{1}{3}V$.
设${V}_{A-DE{C}_{1}{B}_{1}}$=V1,VA-BCED=V2
则$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{{S}_{DE{C}_{1}{B}_{1}}}{{S}_{BCED}}$=$\frac{b+c}{a-c+a-b}$,${V}_{1}+{V}_{2}=\frac{2}{3}V$,
解得V1=$\frac{b+c}{3a}V$.
∴V1+${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{b+c}{3a}V$+$\frac{1}{3}V$=$\frac{a+b+c}{3a}V$.
因此,容器内的油的最理想的剩余量是$\frac{a+b+c}{3a}V$.

点评 本题考查了空间位置关系、分割计算体积,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于中档题.

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